Literatürde, “integre edilebilen denklemler”, lineer denklemlere dönüştürülebilen ya da ters spektral dönüşüm ile çözülebilen denklemler olarak tanımlanır (Calogero, 1991). Bilinen tüm integre edilebilen denklemlerin ortak bir özelliğini bulmaya dayalı yöntemlere “integrabilite testleri” adı verilir. Sonsuz sayıda korunan nicelikler, sonsuz sayıda simetriler, soliton çözümleri, yaygın kullanılan integrabilite testlerinden bazılarıdır. “Sınıflandırma problemi”, integre edilebilir diferansiyel denklem ailelerinin sınıflandırılması olarak bilinir. Yakın geçmişte Sanders ve Wang sonsuz sayıda simetrilerin varlığını kullanarak, ölçek bağımsız skaler integre edilebilir, 7 inci mertebeden büyük, evrim denklemlerinin, 3 üncü ve 5 inci mertebeden denklemlerin simetrileri olduğunu göstererek sınıflandırma problemini, polinom ölçek bağımsız skaler denklemler için çözmüşlerdir (Sanders ve Wang, 1998). Keyfi m inci mertebeden evrim denklemlerinin sınıflandırılması hakkında, ilk sonuç Bilge (2005)’te elde edilmiştir. Bu sonuca göre, n=m+1 mertebeden trivial olmayan bir korunan yoğunluğu kabul eden, m=2k+1 ve k≥3 mertebeden evrim denklemleri kuazilineer olmalıdır. Bu çalışmada ise, m=2k+1’inci mertebeden integre edilebilir skaler evrim denklemlerinin, m>7 için, u_m-i, i=0,1,2 türevlerine göre polinom olduğu ispatlanmıştır. Burada integrabilite testi olarak Mikhailov ve diğerleri (1991) tarafından önerilen “formel simetri”lerin varlığı kullanılmıştır.  Bu integrabilite testi, ρ⁽ⁱ⁾ olarak adlandırılan bazı korunan yoğunlukların varlığını gerektirmektedir.  Bu çalışmada kullanılan ρ⁽¹⁾, ρ⁽²⁾ ve ρ⁽³⁾, genel ifadeleri Bilge (2005)’de verilmiş olan korunan yoğunluklardır.  Hesaplamalarda kullanılan genel formüller m≥19 için geçerlidir. m<19, (m=7, 9, 11, 13, 15, 17) için hesaplar sembolik programlama dili REDUCE kullanılarak yapılmış ve aynı polinomluk özellikleri elde edilmiştir. Bu çalışmada sadece  için elde edilen sonuçlar sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler: İntegrabilite, simetri, korunan yoğunluklar.